贪心算法解析示例

定义

贪心算法（又称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的是在某种意义上的局部最优解。

贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，关键是贪心策略的选择，选择的贪心策略必须具备无后效性，即某个状态以前的过程不会影响以后的状态，只与当前状态有关。

思想

贪心算法的基本思路是从问题的某一个初始解出发一步一步地进行，根据某个优化测度，每一步都要确保能获得局部最优解。每一步只考虑一个数据，他的选取应该满足局部优化的条件。若下一个数据和部分最优解连在一起不再是可行解时，就不把该数据添加到部分解中，直到把所有数据枚举完，或者不能再添加算法停止

过程

• 建立数学模型来描述问题；
• 把求解的问题分成若干个子问题；
• 对每一子问题求解，得到子问题的局部最优解；
• 把子问题的解局部最优解合成原来解问题的一个解。

示例

假设山洞中有 n 种宝物，每种宝物有一定重量 w 和相应的价值 v，毛驴运载能力有限，
只能运走 m 重量的宝物，一种宝物只能拿一样，宝物可以分割。那么怎么才能使毛驴运走宝
物的价值最大呢？
尝试贪心策略：
（1）每次挑选价值最大的宝物装入背包，得到的结果是否最优？
（2）每次挑选重量最小的宝物装入，能否得到最优解？
（3）每次选取单位重量价值最大的宝物，能否使价值最高？
思考一下，如果选价值最大的宝物，但重量非常大，也是不行的，因为运载能力是有限
的，所以第 1 种策略舍弃；如果选重量最小的物品装入，那么其价值不一定高，所以不能在
总重限制的情况下保证价值最大，第 2 种策略舍弃；而第 3 种是每次选取单位重量价值最大
的宝物，也就是说每次选择性价比（价值/重量）最高的宝物，如果可以达到运载重量 m，

那么一定能得到价值最大。
因此采用第 3 种贪心策略，每次从剩下的宝物中选择性价比最高的宝物。

算法设计：
（1）数据结构及初始化。将 n 种宝物的重量和价值存储在结构体 three（包含重量、价
值、性价比 3 个成员）中，同时求出每种宝物的性价比也存储在对应的结构体 three 中，将
其按照性价比从高到低排序。采用 sum 来存储毛驴能够运走的最大价值，初始化为 0。
（2）根据贪心策略，按照性价比从大到小选取宝物，直到达到毛驴的运载能力。每次选
择性价比高的物品，判断是否小于 m（毛驴运载能力），如果小于 m，则放入，sum（已放入
物品的价值）加上当前宝物的价值，m 减去放入宝物的重量；如果不小于 m，则取该宝物的
一部分 m * p[i]，m=0，程序结束。m 减少到 0，则 sum 得到最大值。

完美图解
假设现在有一批宝物，价值和重量如表 2-3 所示，毛驴运载能力 m=30，那么怎么装入
最大价值的物品？
宝物清单：

宝物 i  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10
重量 w[i]  4  2  9  5  5  8  5  4  5  5
价值 v[i]  3  8  18  6  8  20  5  6  7  15

（1）因为贪心策略是每次选择性价比（价值/重量）高的宝物，按照性价比降序排序：
排序后宝物清单：

宝物 i  2  10  6  3  5  8  9  4  7  1
重量 w[i]  2  5  8  9  5  4  5  5  5  4
价值 v[i]  8  15  20  18  8  6  7  6  5  3
性价比 p[i]  4  3  2.5  2  1.6  1.5  1.4  1.2  1  0.75

（2）按照贪心策略，每次选择性价比高的宝物放入：
第 1 次选择宝物 2，剩余容量 30−2=28，目前装入最大价值为 8。
第 2 次选择宝物 10，剩余容量 28−5=23，目前装入最大价值为 8+15=23。
第 3 次选择宝物 6，剩余容量 23−8=15，目前装入最大价值为 23+20=43。
第 4 次选择宝物 3，剩余容量 15−9=6，目前装入最大价值为 43+18=61。

第 5 次选择宝物 5，剩余容量 6−5=1，目前装入最大价值为 61+8=69。
第 6 次选择宝物 8，发现上次处理完时剩余容量为 1，而 8 号宝物重量为 4，无法全部
放入，那么可以采用部分装入的形式，装入 1 个重量单位，因为 8 号宝物的单位重量价值为
1.5，因此放入价值 1×1.5=1.5，你也可以认为装入了 8 号宝物的 1/4，目前装入最大价值为
69+1.5=70.5，剩余容量为 0。
（3）构造最优解
把这些放入的宝物序号组合在一起，就得到了最优解（2，10，6，3，5，8），其中最后
一个宝物为部分装入（装了 8 号财宝的 1/4），能够装入宝物的最大价值为 70.5。

伪代码详解

（1）数据结构定义
根据算法设计中的数据结构，我们首先定义一个结构体 three：
struct three{
double w; //每种宝物的重量
double v; //每种宝物的价值
double p; //每种宝物的性价比（价值/重量）
｝
（2）性价比排序
我们可以利用 C++中的排序函数 sort（见附录 B），对宝物的性价比从大到小（非递增）
排序。要使用此函数需引入头文件：
#include
语法描述为：
sort(begin, end)// 参数 begin 和 end 表示一个范围，分别为待排序数组的首地址和尾地址
在本例中我们采用结构体形式存储，按结构体中的一个字段，即按性价比排序。如果不
使用自定义比较函数，那么 sort 函数排序时不知道按哪一项的值排序，因此采用自定义比较
函数的办法实现宝物性价比的降序排序：
bool cmp(three a,three b)//比较函数按照宝物性价比降序排列
{
return a.p > b.p; //指明按照宝物性价比降序排列
}
sort(s, s+n, cmp); //前两个参数分别为待排序数组的首地址和尾地址
//最后一个参数 compare 表示比较的类型
（3）贪心算法求解
在性价比排序的基础上，进行贪心算法运算。如果剩余容量比当前宝物的重量大，则可以放入，剩余容量减去当前宝物的重量，已放入物品的价值加上当前宝物的价值。如果剩余
容量比当前宝物的重量小，表示不可以全部放入，可以切割下来一部分（正好是剩余容量），
然后令剩余容量乘以当前物品的单位重量价值，已放入物品的价值加上该价值，即为能放入
宝物的最大价值。

for(int i = 0;i < n;i++)//按照排好的顺序，执行贪心策略
{
if( m > s[i].w )//如果宝物的重量小于毛驴剩下的运载能力，即剩余容量
	{
		m -= s[i].w;
		sum += s[i].v;
	}
else //如果宝物的重量大于毛驴剩下的承载能力
	{
		sum += m 乘以 s[i].p; //进行宝物切割，切割一部分(m 重量)，正好达到驴子承重
		break;
	}
}

实现代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int M=1000005;
struct three{
    double w;//每个宝物的重量
    double v;//每个宝物的价值
    double p;//性价比
}s[M];
bool cmp(three a,three b)
{
    return a.p>b.p;//根据宝物的单位价值从大到小排序
}
int main()
{
    int n;//n 表示有 n 个宝物
    double m ;//m 表示毛驴的承载能力
    cout<<"请输入宝物数量 n 及毛驴的承载能力 m ："<<endl;
    cin>>n>>m;
    cout<<"请输入每个宝物的重量和价值，用空格分开： "<<endl;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>s[i].w>>s[i].v;
        s[i].p=s[i].v/s[i].w;//每个宝物单位价值
    }
    sort(s,s+n,cmp);
    double sum=0.0;// sum 表示贪心记录运走宝物的价值之和
    for(int i=0;i<n;i++)//按照排好的顺序贪心
    {
        if( m>s[i].w )//如果宝物的重量小于毛驴剩下的承载能力
    {
        m-=s[i].w;
        sum+=s[i].v;
    }
        else//如果宝物的重量大于毛驴剩下的承载能力
        {
            sum+=m * s[i].p;//部分装入
            break;
        }
    }
    cout<<"装入宝物的最大价值 Maximum value="<<sum<<endl;
    return 0;
}

注意

如果物品不能被分割，就不能采用贪心算法。

leetcode12. 整数转罗马数字

生活中的经验：

在以前还使用现金购物的时候，如果我们不想让对方找钱，付款的时候我们会尽量选择面值大的纸币给对方，这样才会使得我们给对方的纸币张数最少，对方点钱的时候也最方便。

本题“整数转罗马数字”也有类似的思想：在表示一个较大整数的时候，“罗马数字”的设计者不会让你都用 11 加起来，我们总是希望写出来的“罗马数字”的个数越少越好，以方便表示，并且这种表示方式还应该是唯一的。

“罗马数字”与阿拉伯数字的对应关系表中，并且按照从大到小的顺序排列。

罗马数字	阿拉伯数字
M	1000
CM	900
D	500
CD	400
C	100
XC	90
L	50
XL	40
X	10
IX	9
V	5
IV	4
I	1

于是，“将整数转换为罗马数字”的过程，就是用上面这张表中右边的数字作为“加法因子”去分解一个整数，目的是“分解的整数个数”尽可能少，因此，对于这道问题，类似于用最少的纸币凑成一个整数，贪心算法的规则如下：

每一步都使用当前较大的罗马数字作为加法因子，最后得到罗马数字表示就是长度最少的。

public class Solution {

    public String intToRoman(int num) {
        // 把阿拉伯数字与罗马数字可能出现的所有情况和对应关系，放在两个数组中
        // 并且按照阿拉伯数字的大小降序排列，这是贪心选择思想
        int[] nums = {1000, 900, 500, 400, 100, 90, 50, 40, 10, 9, 5, 4, 1};
        String[] romans = {"M", "CM", "D", "CD", "C", "XC", "L", "XL", "X", "IX", "V", "IV", "I"};

        StringBuilder stringBuilder = new StringBuilder();
        int index = 0;
        while (index < 13) {
            // 特别注意：这里是等号
            while (num >= nums[index]) {
                // 注意：这里是等于号，表示尽量使用大的"面值"
                stringBuilder.append(romans[index]);
                num -= nums[index];
            }
            index++;
        }
        return stringBuilder.toString();
    }
}

作者：liweiwei1419
链接：https://leetcode-cn.com/problems/integer-to-roman/solution/tan-xin-suan-fa-by-liweiwei1419/
来源：力扣（LeetCode）
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